Logarithmus-Rechner

So funktioniert der Logarithmus-Rechner

Der Logarithmus beantwortet eine einzige Frage: Mit welcher Hochzahl muss ich die Basis potenzieren, um die gesuchte Zahl zu erhalten? Der Ausdruck log₁₀(100) = 2 bedeutet nichts anderes als: 10 hoch wie viel ergibt 100? Antwort: 10² = 100.

So bedienst du den Rechner: Im Feld modus wählst du zwischen „Logarithmus berechnen" und „Umkehrung: Potenz berechnen". Im Logarithmus-Modus trägst du unter zahl_x die Zahl ein, deren Logarithmus du suchst, und unter basis_modus die gewünschte Basis – Zehnerlogarithmus (10), natürlicher Logarithmus (e ≈ 2,71828), binärer Logarithmus (2) oder eine eigene Basis, die du dann im Feld basis_eigen eintippst. Im Potenz-Modus gibst du stattdessen Basis und exponent ein und erhältst die Potenz – also die Probe zum Logarithmus.

Durchgerechnetes Beispiel: Du wählst modus = „Logarithmus berechnen", zahl_x = 100 und basis_modus = „Zehnerlogarithmus". Der Rechner liefert ergebnis = 2, denn 10² = 100. Zur Kontrolle zeigt die Ausgabe probe_x = 100 (Basis hoch Ergebnis). Zusätzlich siehst du ln_x = 4,605170 (natürlicher Logarithmus), log10_x = 2 und log2_x = 6,643856. Gibst du zahl_x = −5 ein, meldet der Rechner über fehlerhinweis: „Ungültige Zahl: Der Logarithmus ist nur für Zahlen größer als 0 definiert."

Was ist ein Logarithmus?

Der Logarithmus ist die Umkehroperation des Potenzierens. Während 10² = 100 eine Potenz berechnet, fragt log₁₀(100) = 2 nach dem Exponenten. Drei Schreibweisen musst du kennen: lg(x) steht für den Zehnerlogarithmus (Basis 10), ln(x) für den natürlichen Logarithmus (Basis e ≈ 2,718281828) und lb(x) für den binären Logarithmus (Basis 2). Jede dieser drei Basen hat ihr Revier: lg in Technik und Schulmathematik, ln in Naturwissenschaft und Finanzmathematik, lb in der Informatik, wo alles in Bits und Zweierpotenzen zählt.

Zehn Fakten, die sitzen müssen: log₁₀(100) = 2; ln(e) = 1; log₂(32) = 5; log₅(125) = 3; log(1) = 0 bei jeder Basis, denn jede Zahl hoch 0 ergibt 1; ln(10) = 2,302585; ln(2) = 0,693147; log₁₀(2) = 0,301030; 2¹⁰ = 1.024 – die Zahl, die jeder Informatiker kennt; und log(0) sowie der Logarithmus negativer Zahlen sind im Reellen nicht definiert, weil keine Potenz einer positiven Basis je 0 oder negativ wird.

Die Formel: So wird der Logarithmus berechnet

Die zentrale Rechenregel heißt Basiswechsel: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Mit ihr lässt sich jeder Logarithmus auf den natürlichen Logarithmus zurückführen – genau so rechnet auch dieser Rechner intern, denn Computer kennen von Haus aus nur ln. Beispiel: log₅(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828314 / 1,609438 = 3, und die Probe bestätigt: 5³ = 125.

Drei Rechenregeln vereinfachen fast jede Logarithmus-Aufgabe. Die Produktregel: log(a · b) = log(a) + log(b) – aus Multiplikation wird Addition. Die Quotientenregel: log(a / b) = log(a) − log(b). Die Potenzregel: log(aⁿ) = n · log(a). Vor Taschenrechnern war das überlebenswichtig: Ganze Generationen von Ingenieuren haben mit dem Rechenschieber multipliziert, indem sie Logarithmen addiert haben. Auch heute steckt die Idee in jedem Taschenrechner und in jeder Tabellenkalkulation.

Wo dir der Logarithmus im Alltag begegnet

Logarithmen verstecken sich überall dort, wo Größen über viele Zehnerpotenzen reichen. Der pH-Wert ist definiert als pH = −log₁₀ der Wasserstoffionen-Konzentration: pH 3 ist zehnmal saurer als pH 4 und hundertmal saurer als pH 5. Dezibel messen Pegel logarithmisch: +10 dB bedeuten die zehnfache Leistung, +3 dB ungefähr die doppelte. Um solche Verhältnisse anschaulich in Prozent auszudrücken, hilft der Prozentrechner – 3 dB mehr entsprechen etwa +100 % Leistung.

Die Richterskala für Erdbeben ist logarithmisch: Ein Beben der Magnitude 6 setzt rund 32-mal so viel Energie frei wie eines der Magnitude 5 – die Amplitude ist zehnmal so groß, die Energie wächst mit dem Faktor 10^1,5. In der Finanzmathematik beantwortet der Logarithmus die Frage nach der Verdopplungszeit: t = ln(2) / ln(1 + r). Bei 10 % Jahreszins verdoppelt sich ein Kapital nach ln(2) / ln(1,1) = 0,693147 / 0,095310 = 7,27 Jahren – die bekannte 72er-Regel (72 / 10 = 7,2) ist nur die gerundete Faustformel dazu. Wie sich das Guthaben Jahr für Jahr entwickelt, zeigt der Zinseszins-Rechner.

Warum gibt es keinen Logarithmus von 0 oder negativen Zahlen?

Weil die Definition es verbietet. Der Logarithmus log_b(x) fragt nach dem Exponenten y mit b^y = x. Für jede positive Basis b ist b^y immer positiv – egal, ob y positiv, negativ oder null ist. Es gibt also schlicht kein y, für das 10^y = 0 oder 10^y = −5 gelten würde. Deshalb meldet der Rechner bei zahl_x ≤ 0 über das Feld fehlerhinweis eine klare Fehlermeldung statt einer falschen Zahl.

Dasselbe gilt für die Basis: Sie muss größer als 0 und ungleich 1 sein. Die Basis 1 ist ausgeschlossen, weil 1^y für jedes y gleich 1 ist – die Frage „1 hoch wie viel ergibt 5?" hat keine Antwort. Auch negative Basen sind im Reellen tabu, weil z. B. (−2)^(1/2) keine reelle Zahl ergibt. Der Rechner prüft das automatisch im Feld gueltig, bevor er rechnet.

Logarithmus, Potenz und Wurzel: drei Seiten derselben Medaille

Potenzieren, Logarithmieren und Wurzelziehen gehören zusammen: Aus a^n = b folgen die Wurzel ⁿ√b = a und der Logarithmus log_a(b) = n. Die Wurzel fragt nach der Basis, der Logarithmus nach dem Exponenten. Deshalb ergänzen sich Wurzelrechner und Logarithmus-Rechner perfekt – wer Gleichungen wie 2^x = 32 löst, landet bei x = log₂(32) = 5.

Der zweite Modus dieses Rechners („Umkehrung: Potenz berechnen") macht die Gegenrichtung greifbar: Basis 2 und exponent = 10 ergeben potenz_ergebnis = 1.024, und die Rückrechnung zeigt log₂(1024) = 10. Wer tiefer in Gleichungen einsteigen will, findet im Nullstellenrechner das passende Werkzeug für Funktionen – und für alles rund um rechtwinklige Dreiecke bleibt der Satz des Pythagoras die erste Adresse.

So ist dieser Rechner entstanden

Dieser Rechner ist Teil der Rechner-Sammlung von RechnerOnline24.de und wurde im Oktober 2026 als eigenständiges Mathe-Werkzeug gebaut – bewusst ohne Anmeldung, ohne Werbung im Rechenweg und ohne Fachchinesisch. Die Formeln wurden gegen einen echten Formel-Evaluator getestet: Zehn Testfälle von log₁₀(100) = 2 über ln(e) = 1 und 2^10 = 1.024 bis zu den Fehlerfällen (negative Zahl, Basis 1) liefern exakt die von Hand nachgerechneten Werte. Die mathematischen Definitionen folgen der deutschsprachigen Wikipedia (Artikel „Logarithmus") und mathebibel.de. Wo andere Rechner nur ein Ergebnis ausspucken, zeigt dieser hier zusätzlich die Probe (Basis hoch Ergebnis), alle drei Standard-Logarithmen und die Rückrechnung im Potenz-Modus – damit du jedes Ergebnis sofort selbst verifizieren kannst.