Zuletzt aktualisiert: 05. Oktober 2026

Nullstellenrechner

Q: Wie berechne ich die Nullstellen von x² − 5x + 6?

Setze a = 1, b = −5 und c = 6. Die Diskriminante ist Δ = 25 − 24 = 1. Damit: x₁ = (5 + 1)/2 = 3 und x₂ = (5 − 1)/2 = 2. Der Rechner zeigt beide Nullstellen plus Δ = 1 an.

Q: Wie berechne ich die Nullstellen von x² + 4?

Setze a = 1, b = 0 und c = 4. Die Diskriminante ist Δ = 0 − 16 = −16, also negativ — es gibt keine reellen Nullstellen. Der Rechner zeigt den Imaginärteil |Im(x)| = √16/2 = 2 an: Die komplexen Nullstellen sind x = ±2i.

Q: Was muss ich eingeben, wenn a = 0 ist?

Setze einfach a = 0, zum Beispiel bei 4x − 8: a = 0, b = 4, c = −8. Der Rechner erkennt den linearen Fall und löst x = −c/b = 8/4 = 2. Es gibt dann genau eine Nullstelle.

Q: Was sagt mir die Diskriminante?

Die Diskriminante Δ = b² − 4ac entscheidet, bevor du überhaupt rechnest: Δ > 0 bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen, Δ = 0 eine doppelte (die Parabel berührt die x-Achse), Δ < 0 keine reelle Nullstelle. Der Rechner zeigt dir Δ immer direkt mit an.

Q: Was ist eine doppelte Nullstelle?

Bei einer doppelten Nullstelle (Δ = 0) berührt die Parabel die x-Achse nur in einem Punkt — zum Beispiel x² − 4x + 4 = (x − 2)² mit der doppelten Nullstelle x = 2. Der Graph schneidet die Achse dort nicht, sondern dreht an ihr um.

Q: Sollte ich die pq-Formel oder die abc-Formel nehmen?

Beide Formeln lösen dieselbe Gleichung. Die abc-Formel (Mitternachtsformel) arbeitet direkt mit a, b, c: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Die pq-Formel verlangt zuerst die Normalform x² + px + q = 0. Der Rechner nutzt intern die abc-Formel, weil sie ohne Umformen auskommt.

Q: Wozu braucht man Nullstellen überhaupt?

Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse — in der Praxis etwa der Break-even-Punkt einer Kostenfunktion, der Auftreffpunkt einer Wurfparabel oder die Zeitpunkte, an denen eine Schwingung durch die Ruhelage geht.

Quadratische Gleichungen lösen: x₁, x₂, Diskriminante & komplexe Lösungen

Erstellt von Redaktion Taschenrechner Online 24Geprüft von Dipl.-Math. Peter Schröder

Basierend auf 3 Quellen

Der Nullstellenrechner löst quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 online — inklusive Diskriminante, Anzahl der Nullstellen und komplexer Lösungen. Einfach a, b und c eingeben: Du erhältst sofort x₁, x₂ und bei negativer Diskriminante auch den Imaginärteil. Auch der lineare Sonderfall (a = 0) wird automatisch erkannt. Ideal für Mathe-Hausaufgaben, Klausurvorbereitung und Studium.

So verwendest du diesen Rechner

Gib zunächst deine Werte in die Felder Koeffizient a, Koeffizient b, Koeffizient c ein. Prüfe Einheiten und Zahlenformat im deutschen Stil. Das Ergebnis wird automatisch aktualisiert und kann zusätzlich über die Schaltfläche berechnet werden. Nutze die Ausgabe als Orientierung und vergleiche sie bei Bedarf mit weiteren Quellen.

So funktioniert der Nullstellenrechner

Trage unter Koeffizient a, Koeffizient b und Koeffizient c die drei Zahlen deiner Gleichung ax² + bx + c = 0 ein.
Der Rechner bestimmt zuerst den Gleichungstyp: Ist a = 0, liegt eine lineare Gleichung vor.
Er berechnet die Diskriminante Δ = b² − 4ac — sie verrät, wie viele Lösungen es gibt.
Du erhältst x₁ und x₂ (bei Δ < 0 den Realteil) sowie den Imaginärteil für komplexe Lösungen.
Alle Werte aktualisieren sich live bei jeder Eingabe.

Durchgerechnetes Beispiel: Ein 17-jähriger Schüler aus Köln soll 2x² − 8x + 6 = 0 lösen. Er gibt a = 2, b = −8, c = 6 ein. Die Diskriminante: Δ = (−8)² − 4 · 2 · 6 = 64 − 48 = 16. Damit x₁ = (8 + √16)/4 = 12/4 = 3 und x₂ = (8 − √16)/4 = 4/4 = 1. Der Rechner zeigt zusätzlich „2 reelle Nullstellen“ an — Probe: 2·9 − 24 + 6 = 0 ✓.

Was mache ich, wenn die Diskriminante negativ ist?

Keine Panik — das ist ein ganz normales Ergebnis. Δ < 0 heißt nur: Die Parabel schneidet die x-Achse nicht, es gibt keine reelle Nullstelle. Zwei Dinge helfen weiter:

Komplexe Zahlen zulassen: Die Lösungen existieren weiter, nur eben komplex: x = −b/2a ± i·√|Δ|/2a. Der Rechner gibt dir den Imaginärteil direkt aus.
Geometrisch deuten: Eine nach oben geöffnete Parabel mit Δ < 0 und c > 0 liegt komplett oberhalb der x-Achse — der Funktionsterm ist überall positiv.

In der Schule reicht meist die Antwort „keine reelle Lösung“. Im Studium oder in der Elektrotechnik brauchst du die komplexen Werte — genau dafür ist die Imaginärteil-Ausgabe da.

Reicht die pq-Formel nicht auch? Wann brauche ich diesen Rechner?

Die pq-Formel funktioniert nur nach dem Umformen auf x² + px + q = 0 — ein Schritt, bei dem sich gerne Vorzeichenfehler einschleichen. Der Rechner nimmt die Gleichung so, wie sie dasteht, und liefert in einem Durchgang:

Gleichungstyp (linear oder quadratisch)
Diskriminante und Anzahl der Lösungen
beide Nullstellen bzw. Real- und Imaginärteil

Das spart nicht nur Zeit, sondern zeigt dir auch sofort, warum es so viele Lösungen gibt, wie es gibt. Zum Lernen ideal: erst selbst rechnen, dann mit dem Rechner kontrollieren.

Formel

Für ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) gilt die abc-Formel:

Δ = b² − 4ac
x₁ = (−b + √Δ) / 2a
x₂ = (−b − √Δ) / 2a

Dabei ist Δ die Diskriminante: Δ > 0 → zwei reelle Nullstellen, Δ = 0 → eine doppelte, Δ < 0 → keine reelle (komplexe: x = −b/2a ± i·√|Δ|/2a). Für a = 0 wird die Gleichung linear: x = −c/b.

So ist dieser Rechner entstanden

Dieser Rechner ist entstanden, weil beim Lösen quadratischer Gleichungen fast alle Fehler an zwei Stellen passieren: beim Vorzeichen von b in der Formel und beim Übersehen des Falls a = 0. Deshalb zeigt er Diskriminante, Gleichungstyp und beide Lösungszweige immer gemeinsam an.

Häufig gestellte Fragen

Wie berechne ich die Nullstellen von x² − 5x + 6?

Setze a = 1, b = −5 und c = 6. Die Diskriminante ist Δ = 25 − 24 = 1. Damit: x₁ = (5 + 1)/2 = 3 und x₂ = (5 − 1)/2 = 2. Der Rechner zeigt beide Nullstellen plus Δ = 1 an.

Wie berechne ich die Nullstellen von x² + 4?

Setze a = 1, b = 0 und c = 4. Die Diskriminante ist Δ = 0 − 16 = −16, also negativ — es gibt keine reellen Nullstellen. Der Rechner zeigt den Imaginärteil |Im(x)| = √16/2 = 2 an: Die komplexen Nullstellen sind x = ±2i.

Was muss ich eingeben, wenn a = 0 ist?

Setze einfach a = 0, zum Beispiel bei 4x − 8: a = 0, b = 4, c = −8. Der Rechner erkennt den linearen Fall und löst x = −c/b = 8/4 = 2. Es gibt dann genau eine Nullstelle.

Was sagt mir die Diskriminante?

Die Diskriminante Δ = b² − 4ac entscheidet, bevor du überhaupt rechnest: Δ > 0 bedeutet zwei verschiedene reelle Nullstellen, Δ = 0 eine doppelte (die Parabel berührt die x-Achse), Δ < 0 keine reelle Nullstelle. Der Rechner zeigt dir Δ immer direkt mit an.

Was ist eine doppelte Nullstelle?

Bei einer doppelten Nullstelle (Δ = 0) berührt die Parabel die x-Achse nur in einem Punkt — zum Beispiel x² − 4x + 4 = (x − 2)² mit der doppelten Nullstelle x = 2. Der Graph schneidet die Achse dort nicht, sondern dreht an ihr um.

Sollte ich die pq-Formel oder die abc-Formel nehmen?

Beide Formeln lösen dieselbe Gleichung. Die abc-Formel (Mitternachtsformel) arbeitet direkt mit a, b, c: x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a. Die pq-Formel verlangt zuerst die Normalform x² + px + q = 0. Der Rechner nutzt intern die abc-Formel, weil sie ohne Umformen auskommt.

Wozu braucht man Nullstellen überhaupt?

Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse — in der Praxis etwa der Break-even-Punkt einer Kostenfunktion, der Auftreffpunkt einer Wurfparabel oder die Zeitpunkte, an denen eine Schwingung durch die Ruhelage geht.

Quellen

Schulmathematik Algebra: Nullstellen als Lösungen von f(x)=0
Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen: x = (-b ± sqrt(b²-4ac)) / (2a)
Diskriminante Δ = b² - 4ac zur Fallunterscheidung reeller/komplexer Lösungen

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